Über Geodäten

Dieses Blatt beabsichtigt, denjenigen Seminarteilnehmern, die aus der Differentialgeometrie noch keine ausführlichen Kenntnisse über Geodäten haben, solche auf elementarem Niveau zu vermitteln. Um den geometrischen Aspekt hervorzuheben, werden die (für eine vollständige und mathematisch exakte Behandlung natürlich unerläßlichen) Fragen der richtigen Funktionenräume und der Differenzierbarkeit der Funktionale in diesen Räumen ausgeklammert (s. Vorlesungen über Variationsrechnung oder fortgeschrittenen Differentialgeometrie–Kurse) Diese ausgeklammerten Aspekte sind übrigens nicht sonderlich schwierig, da die zugrundeliegende Differentialgleichung eine gewöhnliche ist.

Für unsere Zwecke ist daher ein kritischer Punkt eines auf C^{1}([a, b] → M) definierten Funktionals x(·) ↦ I[x] eine solche Funktion x(·), bei der alle Richtungsableitungen des Funktionals verschwinden:

\frac{d}{dε}|_{ε=0} I[x + εφ] = 0 für alle φ(·) ∈ C^{1}([a, b] → IR^{d}) , die φ(a) = φ(b) = 0 erfüllen.

Dabei ist die Addition x+εφ bzgl. irgendeines Koordinatensystems in der Umgebung von x([a, b]) zu interpretieren.

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M mit der Metrik ds^{2} = g_{ij}dx^{i}dx^{j} ist die Länge einer Kurve t ↦ x(t) von x_{0} = x(t_{0}) nach x_{1} = x(t_{1}) gegeben durch

L_{t_{0}}^{t_{1}}[x] := ∫_{t_{0}}^{t_{1}} |ẋ(t)| dt := ∫_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{g_{ij}(x(t))ẋ^{i}(t)ẋ^{j}(t)} dt

Ein Segment, für das dieses Funktional einen kritischen Punkt hat (z.B. ein Minimum), heißt ein geodätisches Segment.

Man zeige: x(t) minimiert genau dann das Energie-Funktional

E_{t_{0}}^{t_{1}}[x] := ∫_{t_{0}}^{t_{1}} |ẋ(t)|^{2} dt := ∫_{t_{0}}^{t_{1}} g_{ij}(x(t))ẋ^{i}(t)ẋ^{j}(t) dt

unter allen C^{1}–Funktionen, die den Randbedingungen x_{0} = x(t_{0}) nach x_{1} = x(t_{1}) genügen, wenn es das Längenfunktional L_{t_{0}}^{t_{1}}[x] unter diesen Funktionen minimiert und mit konstanter Geschwindigkeit |ẋ(t)| = const parametrisiert ist. Wenn x(·) ein kritischer Punkt des Längenfunktionals ist und obendrein nach konstanter Geschwindigkeit parametrisiert, dann ist x(·) auch ein kritischer Punkt des Energiefunktionals.

Das Längenfunktional ist unter Umparametrisierungen invariant, d.h. für monoton wachsende C^{1}–Diffeomorphismen φ gilt: L_{t_{0}}^{t_{1}}[x] = L_{φ^{−1}(t_{0})}^{φ^{−1}(t_{1})}[x ∘ φ]. Jeder Weg x(·) läßt sich auf konstante Geschwindigkeit umparametrisieren.

Wir übernehmen von der Variationsrechnung (oder Differentialgeometrie) ohne Beweis, daß auf einer kompakten Mannigfaltigkeit ohne Rand zwischen je zwei Punkten eine Minimierende des Energiefunktionals existiert, daß diese C^{∞} ist, wenn die Metrik C^{∞} ist, und daß jeder Weg x, der ein kritischer Punkt des Energiefunktionals ist, dieses zwischen zwei hinreichend benachbarten seiner Punkte, x(t)und x(t + ε), minimiert. Man folgere mit dieser lokalisierten Minimumseigenschaft, daß jeder kritische Punkt des Energiefunktionals auch kritisch fürs Längenfunktional ist (und nach konstanter Geschwindigkeit parametrisiert).

Also reicht es, für die Bestimmung von Geodäten das Energiefunktional zu betrachten. Ab sofort parametrisieren wir alle Geodäten mit konstanter Geschwindigkeit.

Man zeige, daß alle kritischen Punkte des Energiefunktionals

E_{t_{0}}^{t_{1}}[x] = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} g_{ij}(x(t))ẋ^{i}(t)ẋ^{j}(t) dt

die Gleichung

ẍ^{i}(t) + Γ^{i}_{jk}(x(t))ẋ^{j}(t)ẋ^{k}(t) = 0

erfüllen, wobei

Γ^{i}_{jk} = \frac{1}{2}g^{il} [\frac{∂g_{jl}}{∂x^{k}} + \frac{∂g_{kl}}{∂x^{j}} − \frac{∂g_{jk}}{∂x^{l}} ]

ist. Das Resultat zu beweisen, wonach solche kritischen Punkte automatisch C^{2}–Funktionen sind, ist nicht Teil der Aufgabe.

Sei T_{q}M der Tangentialraum in q an eine (kompakte) Riemannsche Mannigfaltigkeit (ohne Rand), M, dh. der Vektorraum aller Tangentialvektoren an M in q. Dann ist exp_{q}(v) für v ∈ T_{q}M definiert als der Punkt x(1) der (nach einem Standardsatz über ODE eindeutigen) Geodäten x(·) mit den Anfangsbedingungen x(0) = q, ẋ(0) = v. Es folgt direkt aus der Definition, daß die Ableitung von exp_{q} in 0 die Identität auf T_{q}M ist. Nach dem Satz über implizite Funktionen bildet daher exp_{q} eine geeignete Nullumgebung in T_{q}M diffeomorph auf eine Umgebung von q auf M ab.

Man beschreibe die Abbildung exp_{N} : T_{N}S^{2} → S^{2}, wobei S^{2} die euklidische Einheitssphäre

im IR^{3} ist und N ihr Nordpol. Man gebe die Metrik ds^{2} = [ dr dφ ] [ \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}dr \\ dφ \end{matrix} ] auf

der Sphäre an, und zwar ausgedrückt in den Polarkoordinaten (r, φ) in T_{N}S^{2}, die vermöge exp_{N} als Koordinaten auf der Sphäre interpretiert werden. Bild!

Allgemein lassen sich im Fall einer d-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit M Polarkoordinaten in T_{x}M, etwa (r, φ^{1}, …, φ^{d−1}) vermöge exp_{x} in eine Umgebung von x auf M übertragen. Dabei seien φ^{1}, …, φ^{d−1} irgendwelche Koordinaten auf der Sphäre S^{d−1} ⊂ T_{x}M ≅ IR^{d}. Differentialgeometer können ohne größere Mühe nachrechnen, daß die Metrik in diesen Koordinaten folgende Gestalt hat:

ds^{2} = dr^{2} + r^{2}θ_{ij}(v⃗)dφ^{i}dφ^{j} (v⃗ ∈ T_{x}M hat Polarkoordianten (r, φ^{1}, …, φ^{d−1})).

Man interpretiere unmittelbar geometrisch, dh. in Worten und/oder Skizzen, warum

• der Koeffizient von dr^{2} genau 1 ist.

• keine dr dφ^{i}–Terme auftauchen Hinw.: Was entspricht der in der Ebene trivialen Aussage, daß die Radien senkrecht auf der Kreislinie stehen, im Fall einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, und wie sieht man die Riichtigkeit dieser analogen Aussage unmittelbar als Folge des Variationsproblems ein?

• θ_{ij} in v⃗ = 0 keine Singularität hat.

Man folgere, daß \sqrt{g} := \sqrt{det((g_{ij}))} = θ(v⃗) r^{d−1} mit einer in v⃗ = 0 regulären Funktion θ ist. Ferner, daß θ(0) = 1.

Was (explizit) ist θ im obigen Beispiel der S^{2} für eine Funktion? Man zeige, ausgehend von der oben angegebenen Formel für die Metrik, für eine nur von r abhängige Funktion f, daß

Δf = f′′(r) + (\frac{d − 1}{r} + \frac{θ′}{θ} ) f′(r) (mit θ′ := ∂θ/∂r)

ist.

Als Ergänzung, wenn uns noch Zeit bleibt, die oben erwähnte lokalisierte Minimumseigenschaft:

Man zeige: Wenn x(·) ∈ C^{1}[a, b] ein kritischer Punkt des oben definierten Funktionals E_{a}^{b} ist, dann existiert ein δ, so daß für alle [t, t + δ] ⊂ [a, b] (und alle φ ∈ C^{1}[t, t + δ] mit Randwerten 0) gilt:

\frac{d^{2}}{dε^{2}} |_{ε=0} E_{t}^{t+δ}[x + εφ] > 0

Hinweis: ∫_{t}^{t+ε} φ^{2} dt ≤ (ε/π)^{2} ∫_{t}^{t+ε} φ̇^{2} dt. —warum?—. Ferner gilt (warum?) für alle reellen Zahlen ρ > 0, u, v stets: |2uv| ≤ ρu^{2} + v^{2}ρ.