Üb–er Fourierreihen und die Fouriertransformation

Sei H := L^{2}[a, b] der Raum all der (komplexwertigen) Funktionen f auf [a, b], für die ∫_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx im Lebesgueschen Sinne definiert und endlich ist. Man zeige:

(a) ⟨f|g⟩ := \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(x)\overline{g(x)} dx ist ein Skalarprodunkt auf H.

(b) Die Funktionen e_{k} : x ↦ exp(2πikx/(b − a)) (für k ∈ ZZ) sind orthonormal im Sinn dieses

Skalarprodukts, dh. ⟨e_{k}|e_{l}⟩ = \{ \begin{matrix}1 & für k = l \\ 0 & sonst \end{matrix} .

Man kann zeigen (das ist nicht Teil der Aufgabe), daß aus ⟨f|e_{k}⟩ = 0 (∀k) folgt, daß f = 0. Daraus folgt mit allgemeinen Prinzipien der Hilbertraumtheorie (Funktionalanalysis), daß sich jedes Element f ∈ H eindeutig in der Form f = ∑_{k} f_{k} e_{k} schreiben läßt, wobei die Reihe im Sinne der Norm ∥f∥ := ⟨f|f⟩^{1/2} konvergiert. Diesen Umstand nehmen wir für Zwecke des Seminars ohne Beweis als gegeben.

(c) Man folgere aus dieser Darstellung, daß f_{l} = ⟨f|e_{l}⟩ ist, ferner, daß ∑_{l} |f_{l}|^{2} = ⟨f|f⟩.

(d) Man schreibe diese Darstellung f = ∑_{k}⟨f|e_{k}⟩e_{k} im konkreten Beispiel explizit auf, nämlich für f(x) = x^{2} auf x ∈ [−π, π].

(e) Man folgere in diesem Fall nur zum Spaß, daß ∑_{n=1}^{∞} n^{−4} = π^{4}/90 ist.

Folgender Satz gilt für Fourierreihen: (ohne Beweis)

Jede Funktion f ∈ L^{2}[a, b] läßt sich eindeutig in eine Fourierreihe

f(x) = ∑_{k=−∞}^{∞} f_{k} exp(2πikx/(b − a))

entwickeln; diese konvergiert in der Normtopologie von L^{2}[a, b]. Es gilt

f_{k} = \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(x) exp(−2πikx/(b − a)) dx.

Die Abbildung f ↦ (f_{k}) ist eine Isometrie zwischen den Hilberträumen L^{2}[a, b] und

ℓ^{2} := {(f_{k}) | ∑_{k=−∞}^{∞} |f_{k}|^{2} < ∞, f_{k} ∈ C}.

Falls f ∈ C_{per}^{1} ist (dh. die (b − a)-periodische Fortsetzung von f ist in C^{1}(IR)), konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig. (Falls f stückweise C^{1} ist, konvergiert die Reihe immer noch gleichmäßig auf jedem kompakten Stetigkeitsintervall von f.)

Die Fourierreihe einer (nur) stetigen Funktion braucht nicht einmal punktweise zu konvergieren, obwohl sich andererseits jede auf [a, b] stetige Funktion gleichmäßig durch trigonometrische Summen ∑_{k=−n}^{n} c_{k}e_{k} approximieren läßt. (!)

Sei f ∈ C_{per}^{r}[a, b], dann gilt für die oben definierten Fourierkoeffizienten f_{k}: lim_{k→±∞} |f_{k}| |k|^{r} = 0. (Man beweise das.) Gelte umgekehrt lim_{k→±∞} |f_{k}| |k|^{r+ε} = 0. Dann ist f ∈ C_{per}^{r−1}[a, b]. (Man beweise das auch; es ist fast trivial.)

Der tiefere Grund, warum Fourierreihen beim praktischen Rechnen mit dem Laplaceoperator auf Intervallen bzw. Rechtecken eine so große Rolle spielen, ist einfach der, daß die Fourier– Basisfunktionen e_{k} Eigenfunktionen des (eindimensionalen) Laplace–Operators (d^{2}/dx^{2}) sind.

Beobachtung: Je länger das Intervall [a, b] wird, desto näher liegen die in der Fourierreihe auftauchenden Frequenzen 2πn/(b − a) zusammen. Formaler Grenzfall der Fourierreihen–Entwicklung für a → −∞, b → ∞ ist daher die folgende Fouriertransformation (wir geben keine Beweise): Sei f eine hinreichend anständige (s.u.) Funktion auf IR. Dann heißt

f̂(k) := (2π)^{−1/2} ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−ikx} dx

die Fouriertransformierte von f, und es gilt

f(x) := (2π)^{−1/2} ∫_{−∞}^{∞} f̂(k)e^{ikx} dk.

Je glatter f ist, desto schneller geht f̂ für k → ±∞ gegen 0, und je schneller f für x → ±∞ gegen 0 geht, desto glatter ist f̂.

Sei

S := {f ∈ C^{∞}(IR) | ∀k, l ∈ IN : lim_{|x|→∞} f^{(k)}(x)|x|^{l} = 0}

Dann gilt das Gesagte mathematisch streng für f ∈ S, und die Fouriertransformation

f ↦ f̂, S → S

ist wohldefiniert, bijektiv und eine Isometrie bezüglich der L^{2}(IR)-Norm. Sie läßt sich (da S dicht in L^{2}(IR) ist) eindeutig zu einer Isometrie L^{2}(IR) → L^{2}(IR) fortsetzen.

Also ist f ∈ S ”hinreichend anständig“ im obigen Sinn, und man hat keine technischen Schwierigkeiten unter dieser Voraussetzung. Aber f ∈ L^{2} ist auch ausreichend, nur muß man dann in technischen Fragen sorgfältig sein, etwa weil für f ∈ L^{2}(IR) \ L^{1}(IR) das Integral, welches f̂ definiert, als uneigentliches Lebesgue–Integral aufgefaßt werden muß.

Üb–er Distributionen

Als sehr schöne Einführung ist [Ri], Kapitel 2.1 im 1. Band zu empfehlen (knapp 3 Seiten). Als knappe, aber anspruchsvoll geschriebene Einführung, die sich an mathematisch routinierte Leser wendet, sei [Con] erwähnt. Alle betreffenden Kapitel in [Ri] kombiniert mit [Con] scheinen mir einem Lehrbuch–Zugang zum Thema überlegen.

Zur Beschreibung kontinuerlicher Masseverteilungen führt man eine Dichte ρ ein. Die Masse im Raumvolumen V ist dann ∫_{V} ρ(x) dx. Bedingt durch eine Temperaturverteilung T (x) in diesem Raumvolumen mag der relative Wärmeinhalt bei x (bezogen auf die Masse, also etwa in Joule/kg gemessen) q(T (x)) sein. In einem dort befindlichen kleinen Stückchen des Körpers ist der Wärmeinhalt also q(T (x)) ρ(x) dx, und der Gesamtwärmeinhalt ist das Integral davon: ∫_{V} φ(x) ρ(x) dx mit φ = q ∘ T.

Eine Idealisierung einer möglichen Masseverteilung ist eine Einheitspunktmasse, d.h. alle Masse sei in einem Punkt x_{0} konzentriert. Das bedeutet übersetzt, daß

ρ(x) = 0 für x ≠ x_{0} , aber ∫ ρ(x) dx = 1

Die Dichte, die dies bewerkstelligt, heißt in der Physik δ(x − x_{0}), ist aber in der Mathematik leider inexistent, da sich die beiden Bedingungen an sie widersprechen: aus ρ = 0 f.ü. folgt ∫ ρ = 0.

Eine mathematische Fassung des erwähnten Konzepts ist der Begriff der Distribution, und δ(x − x_{0}) ist ein Beispiel. Jede lokalintegrierbare Funktion ρ kann ebenfalls als Distribution gesehen werden. Zum Begriff einer Distribution gehört der Begriff einer Testfunktion, im obigen Beispiel wäre das φ. Der Zusammenhang zwischen beiden ist der, daß eine Distribution definitionsgemäß ein Objekt ist, das man sinnvoll gegen eine Testfunktion integrieren kann, und eine Testfunktion ist eine klassische Funktion, die beliebig oft differenzierbar sein muß. Die hohe Regularität der Testfunktion kompensiert unter dem Integral die erlaubten schweren Singularitäten von Distributionen.

Konkret ist δ(x − x_{0}) definiert als die stetige lineare Abbildung C^{∞}(V) → IR , φ ↦ φ(x_{0}), und allgemein sind Distributionen stetige Linearformen auf einem Raum von Testfunktionen. Eine L^{1}-Funktion ρ wird als die Distribution φ ↦ ∫ ρφ interpretiert, und zwei solche Funktionen sind als Distributionen genau dann gleich, wenn sie als Funktionen fast überall gleich sind. Insofern sind Distributionen verallgemeinerte Funktionen.

Drei Fälle sind von praktischer Bedeutung: Sei Ω ein Gebiet in IR^{n}.

Testfunktionen Dualraum

Bezeichnung

E(Ω) := C^{∞}(Ω)

E^{∗}(Ω)

Raum der Distribt kompaktem Träger in Ω (Berechtigung der Bezeichnung später)

D(Ω) := C_{kp}^{∞}(Ω) (kompakter Träger)

D^{∗}(Ω)

Raum der Distributionen

S(IR^{n}) (Schwartz– Raum, definiert wie oben)

S^{∗}(IR^{n})

Raum der temperierten Distributionen

Die Auswertung einer Linearform χ auf einer Testfunktion φ schreibt man oft als ⟨χ|φ⟩.

Um die Definition des Konvergenzbegriffs dürfen wir uns nicht drücken: f_{l} → f in E(Ω) (bzw. D(Ω)) per definitionem genau dann, wenn alle Ableitungen gleichmäßig auf Ω konvergieren (bzw. gleichmäßig auf einem Kompaktum von Ω, das die Träger sämtlicher f_{l} enthält).

f_{l} → f in S per def. genau dann, wenn

f_{l}^{(j_{1},...,j_{n})}(x) (1 + |x|^{k}) → f^{(j_{1},...,j_{n})}(x) (1 + |x|^{k})

gleichmäßig auf IR^{n} konvergiert für alle Ableitungen f_{l}^{(j_{1},...,j_{n})} von f_{l} und alle Gewichte k ∈ IN.

Faustregel: Alles, was linear ist, ist mit Distributionen erlaubt, alles was nichtlinear ist, ist verboten (nicht definiert). Konkret:

• Jede Distribution χ ∈ D^{∗} läßt sich beliebig oft differenzieren, und zwar ist

⟨∂_{1}^{j_{1}} ⋯ ∂_{n}^{j_{n}}χ|φ⟩ := (−1)^{j_{1}+...j_{n}}⟨χ|∂_{1}^{j_{1}} ⋯ ∂_{n}^{j_{n}}φ⟩

Aufgabe: Man zeige, daß diese Definition im Fall einer hinreichend oft (klassisch) differenzierbaren Funktion, die man als Distribution interpretiert (χ ∈ E ⊂ D^{∗}), mit dem bekannten Ableitungsbegriff übereinstimmt.

Aufgabe: Sei h(x) := \{ \begin{matrix}0 & für x < 0 \\ 1 & für x > 0 \end{matrix} . Man zeige, daß h′(x − x_{0}) = δ(x − x_{0}).

• Es ist bei Distributionen nicht sinnvoll, von einem Wert an einer bestimmten Stelle zu sprechen. Aber es ist sinnvoll, zu sagen daß zwei Distributionen χ_{1}, χ_{2} auf einer offenen Menge übereinstimmen: sie tun es dann, wenn für alle Testfunktionen φ mit kompaktem Träger in dieser Menge ⟨χ_{1} − χ_{2}|φ⟩ = 0 gilt.

Aufgabe: Man verwende diese Definition, um den Träger einer Distribution zu definieren, zeige, daß die Definition mit der im Fall stetiger Funktionen üblichen übereinstimmt und gebe den Träger von δ(x − x_{0}) an.

Man kann zeigen, aber das ist nicht unser Ziel, daß nach dieser Definition die Distributionen in E^{∗} tatsächlich genau die mit kompaktem Träger sind.

• Für Distributionen ist ein Konvergenzbegriff definiert, nämlich die schwache Konvergenz: χ_{m} → χ in D^{∗} genau dann wenn ⟨χ_{m}|φ⟩ → ⟨χ|φ⟩ für alle φ ∈ D.

Aufgabe: Wogegen konvergieren die angegebenen Folgen von Distributionen (im Sinne der Konvergenz in D^{∗}(IR))?

– χ_{n}(x) = sin nx

– χ_{n}(x) = δ(x − n)

– χ_{n}(x) = n/2 für |x| ≤ 1/n und 0 sonst.

– χ_{n}(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−n}^{n} e^{ikx} dk (das ist schwieriger; statt einer Lösung ist ersatzweise Skizze und qualifizierte Mutmaßung erlaubt und erwünscht).

– χ_{n}(x) = \frac{n}{\sqrt{π}} exp(−n^{2}x^{2}).

Man zeige, daß distributionelle Konvergenz und distributionelle Ableitung ohne weitere Voraussetzungen vertauscht werden dürfen. (Das ist einfach!)

• Ganz im Sinn obiger Faustregel ist es nicht möglich, ein Produkt von Distributionen allgemein zu definieren. Wäre dies möglich, dann würde gelten:

δ(x) = 1 · δ(x) = (\frac{1}{x} · x) · δ(x) = \frac{1}{x} · (x · δ(x)) = \frac{1}{x} · 0 = 0

(Zugegeben, wir haben nicht definiert, was für eine Distribution \frac{1}{x} sein soll, aber es gibt eine sinnvolle Definition.)

Sinnvoll ist aber die Multiplikation einer Distribution χ mit einer Testfunktion ψ: nämlich ⟨ψχ|φ⟩ := ⟨χ|ψφ⟩.

Aufgabe: Sei f ∈ E. Man beweise, daß f(x) · δ(x) = f(0) · δ(x) ist und berechne auch f(x) · δ′(x).

• Für temperierte Distributionen ist eine Fouriertransformation definiert. Auch das geschieht wieder durch Abwälzen der Fouriertransformation auf die Testfunktionen. Dafür muß der Raum der Testfunktionen aber invariant unter der Fouriertransformation sein, und deshalb wird dafür S gewählt, also erhält man eine Definition nur für temperierte Distributionen. Sei also für φ ∈ S

\begin{aligned}(Fφ)(k) := φ̂(k) & = & \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{IR_{n}} φ(x) e^{−ikx} dx \\ (F^{−1}φ̂)(x) & = & \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{IR_{n}} φ̂(k) e^{ikx} dk \end{aligned}

Dann ist für χ ∈ S^{∗} definiert: ⟨Fχ|φ⟩ := ⟨χ|Fφ⟩ Aufgabe: Man zeige wieder, daß die Definition für eine als Distribution aufgefaßte Testfunktion χ ∈ S ⊂ S^{∗} mit der für Testfunktionen ursprünglich gegebenen übereinstimmt. Man berechne die Fouriertransformationen von δ(x − x_{0}).

Bemerkung: Für Distributionen χ ∈ E^{∗} ⊂ S^{∗} ist also (2π)^{−1/2} ∫ χ(x)e^{−ikx} dx sowohl als Auswertung von χ auf der Testfunktion φ_{k} : x ↦ (2π)^{−1/2}e^{−ikx} aus E interpretierbar als auch als Fouriertransformation. Tatsächlich ist die temperierte Distribution Fχ in diesem Fall sogar eine analytische Funktion, und ihr Wert in k ist gleich ⟨χ|φ_{k}⟩, so daß beide Interpretationen des formalen Integrals dasselbe Resultat liefern.

Literatur

[C-H] Courant, Hilbert: Methoden der Mathematischen Physik, Springer Heidelberger TB Nr. 30,31

[Con] F. Constantinescu: Distributionen und ihre Anwendungen in der Physik, Teubner 1974

[Ri] Robert D. Richtmyer: Principles of Advanced Mathematical Physics, 2 Vols, Springer 1978/81