Vorträge

Bei den Literaturangaben sind häufig mehrere Quellen angegeben, die sich inhaltlich weitgehend überschneiden.

(1) (a) Isoperimetrische Eigenschaften der Grundfrequenz [PSz] Note A, p. 182ff oder [Fab]

oder [Kra] oder [Cha] VI.2.

(b) Beweis eines Taubertheorems. [Pos], thm 4, p. 49 oder [Wid2], thm. 4.3, p. 192 Beide Teile sind unabhängig voneinander. In (a) wird/werden die (Steiner– und) Schwarz– Symmetrisierung(en) behandelt. (b) ist elementar, aber trickreich; es dient als Vorbereitung auf den nächsten Vortrag, wo das Taubertheorem Kern der Argumentation sein wird. Alle Teilnehmer sollten die Aufgabe 1 vorher lösen. Weitere Aufgaben im Zusammenhang mit dem Vortrag sind 2 und 3.

(2) Die Arbeit von Kac [Kac].

Der Vortragende sollte vor allem die intuitiven Ideen und die Querverbindungen zur Physik vermitteln, ohne die mathematische Exaktheit unter den Tisch fallen zu lassen. Einfache Kenntnisse aus physikalischen Grundvorlesungen (Wärmeleitung, Schrödingergleichung, ideale Gase, QM und klassischer Limes) wären von Vorteil; mathematische Ingredienzien (Theta–Transformationsformel (=Aufg 12), Begriff der asymptotischen Reihe, Taubertheorem aus Vortrag 1) werden bei individueller Vorbesprechung geklärt. Alle Teilnehmer sollten vorher die Aufgaben 1, 4, 5 und 6 lösen. Weitere Aufgaben im Zusammenhang mit dem Vortrag sind 9 und 12.

(3) “Heat Kernel” auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten.

Dies ist der erste Teil eines Themas über zwei Sitzungen. Es geht zunächst um \underline{Existenz} und Eindeutigkeit der Fundamentallösung (Greens–Funktion) e^{tΔ}δ(·) der Wärmeleitungsgleichung auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit ohne Rand. Die benötigte Differentialgeometrie ist hier noch elementar, das Thema ist deutlich analytischer Natur. Danach wird gezeigt, daß die Spur des Operators e^{tΔ} einer asymptotischen Entwicklung für t → 0+ genügt. Literatur [BGM], p. 204ff und/oder [Cha], ch. VI und/oder [McKS] und [Bus], ch. 7.2. Französische Sprachkenntnisse erforderlich. Alle Teilnehmer, denen der Laplace–Beltrami–Operator für Funktionen auf Mannigfaltigkeiten nicht geläufig ist, sollten sich vorher die Aufgabe 7 anschauen. Ferner dienen die Aufgaben 4, 9, 10 zur Vorbereitung der Teilnehmer auf den Vortrag.

(4) Asymptotische Entwicklung des “Heat Kernel”.

In diesem Teil wird gezeigt, daß in den Koeffizienten der asymptotischen Entwicklung der Spur von e^{tΔ} geometrische Information steckt; die ersten dieser Koeffizienten werden praktisch berechnet und ihre Bedeutung diskutiert. Analytische Techniken (wie trickreiche Abschätzungen) tauchen nicht mehr auf, dafür verlangt dieser Vortrag mehr Kenntnisse in Differentialgeometrie, insbesondere kovariante Ableitungen und Krümmungstensor. Eine Prise physikalischer Dimensions– und Invarianzargumente (bzw. ihre exakte mathematische Formulierung) liefert hier nichttriviale Information. Literatur [BGM], p. 216ff und wie im vorigen Vortrag. Französische Sprachkenntnisse erforderlich. Aufgaben wie beim vorigen Vortrag.

(5) Poisson–Formel, Gitter, Flache Tori, ihr Spektrum. [BGM], pp. 146–151, 157–159; [Cha], II.2

Hier können Beispiele explizit ausgerechnet werden. Der Zusammenhang zwischen Längenspektrum (Längen geschlossener Geodäten) und Laplace–Spektrum (Eigenwerte) folgt hier ganz leicht, aber auch scheinbar zufällig.

Die Teilnehmer sollten vorher die Aufgaben 12 und 13 bearbeiten.

Dem Vortragenden obliegt insbesondere die Interpretation der Ergebnisse dieser Aufgaben im Sinne unserer Zielsetzung. Ferner sollte für spätere Verwendung der Zusammenhang zwischen Gittern in C, der oberen Halbebene und der Gruppe P SL_{2}(ZZ) dargestellt werden: [Ser], VII,1. Französische Sprachkenntnisse zweckmäßig.

Die Teilnehmer sollten dazu vorher auch die Aufgabe 14(a) bearbeiten.

(6) Isospektrale flache Tori im IR^{16} und Modulfunktionen [Mil], [Ser] VII,1–3.2, [BGM] 155– 158.

Ein Resultat aus den Anfängen der Theorie elliptischer Modulfunktionen braucht nur ”übersetzt“ zu werden, um das betreffende Beispiel zu erhalten. Also nehmen wir den Anlaß, uns eine Kurzeinführung in dieses Gebiet angedeihen zu lassen. Vertiefte Kenntnisse in Funktionentheorie seitens des Vortragenden wären von Vorteil.

Alle Teilnehmer sollten zur Vorbereitung die Aufgabe 15 bearbeiten.

(7) Vorbereitungen für die Selbergsche Spurformel: Flächen höheren Geschlechts. [McK] bis Abschnitt 3.2; bei Bedarf kann auf Kap. 1 von [Sti] zurückgegriffen werden.

Es geht hier hauptsächlich darum, den Zusammenhang zwischen der hyperbolischen Ebene (etwa modelliert als obere Halbebene IH) und den Flächen von höherem Geschlecht (mit konstanter Gauß–Krümmung −1) zur Verfügung zu stellen. Die (durchaus nichttriviale) Formel für den “Heat Kernel” in der hyperbolischen Ebene (S. 233 oben) darf unbewiesen bleiben. Eine zugängliche Quelle für einen Beweis ist [Bus], 7.4.

Alle Teilnehmer sollten zur Vorbereitung Aufgabe 14 lösen.

(8) Selbergsche Spurformel: [McK]. Oder auch [Bus], ch. 9.

Die im vorigen Vortrag hergeleitete Spurformel wird verwendet, um zu zeigen, daß das Längenspektrum einer Riemannschen Fläche vom Geschlecht ≥ 2 durch das Laplace– Spektrum bestimmt ist. Es folgt weiter, daß die Menge der Riemannschen Flächen höheren Geschlechts mit gegebenem Spektrum endlich ist. Die Analogie zum Fall flacher Tori sollte klar werden. Gewisse Analogien zur Zahlentheorie (Primzahlverteilung) deuten sich an, müssen aber nicht ausgearbeitet werden.

Der Stoffumfang orientiert sich an [McK] (ab 3.3), gelegentliche Vergleiche mit [Bus] können nötig oder hilfreich sein. — Vorsicht! Erratum zu [McK] nicht übersehen!

Vertrautheit mit der Γ–Funktion ist nötig, mit der Riemannschen Zetafunktion wünschenswert. Aufgaben dazu folgen.

(9) Isospektrale Kugelsektoren und Weylsche Kammern. [Ura] Mehr Details folgen, wenn jemand den Vortrag übernimmt. Eine Grundidee, wie man mit Spiegelungen Spektren berechnen kann, wird in Aufgabe 5d elementar illustriert. Bemerkenswert ist, daß die Weilschen Kammern bzw. die damit zusammenhängenden von Spiegelungen erzeugten endlichen Untergruppen von O(n) anderweitig in der Mathematik prominent auftauchen, nämlich bei der Klassifikation halbeinfacher komplexer Lie–Algebren.

(10) One cannot hear the shape of a drum: Konstruktion zweier ebener nichtkongruenter Gebiete mit gleichem Spektrum (sowohl bei Dirichlet– als auch bei Neumann–RB). Als wesentliches Bauprinzip dienen hier kombinatorische Eigenschaften endlicher Gruppen. Obwohl die Quelle [GWW] ist, empfiehlt sich für den Vortrag eine abweichende Darstellung, die mehrere Quellen kombiniert:

Zunächst wird die Sunada–Spurformel gebraucht, wofür [Bro], Abschnitt 2–3 eine gute Quelle ist. Es mag lohnen, daß wir die Folgerungen, die Brooks in Abschnitt 4 zieht, zur Kenntnis nehmen, aber wir werden eine andere Anwendung im selben Geist anstreben, nämlich die flache Mannigfaltigkeit mit Rand (und Ecken) in Abschnitt 3 von [GWW]. Für die kombinatorischen Aspekte der Konstruktion folgen wir deren Verweis auf [Bu1] (Abschnitt 1–4). Abschnitt 4 von [GWW] liefert dann schmerzlos die ebenen Gebiete.

Eine kurze Zusammenfassung von [GWW] ist [gww], eine populärwissenschaftliche Darstellung dazu [Cip]. Ferner mag [Bus] 11.1–11.3 eine zu den von [Bro] angegebenen Abschnitten äquivalente Quelle sein.

Weitere Vortragsvorschläge folgen bei Bedarf.

Übungen

(1) Sei A ≠ 0, α > 0, und es gelte N(λ) ∼ Aλ^{α}/Γ(α + 1) für λ → +∞. Man zeige

∫_{0}^{∞} e^{−λt} dN(λ) ∼ At^{−α} (t → 0+)

Hinweis: o.E. N(0) = 0; partielle Integration; Zerlegung des Integrationsintervalls in zur Restabschätzung geeigneter Weise. Ferner sei an die Γ–Funktion erinnert: Γ(z) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{z−1} dt für Re z > 0.

Information: Der durch partielle Integration erhaltene Term ∫_{0}^{∞} N(λ)e^{−λt} dλ/ ∫_{0}^{∞} e^{−λt} dλ bedeutet eine Mittelung der Funktion N(λ) bezüglich der Poisson–Verteilung mit Erwartungswert 1/t. Das obige Resultat läßt also aus Kenntnis der Funktion N(λ) für große λ einen Schluß auf ihren Mittelwert zu. Damit ist plausibel, daß eine Umkehrung, nämlich ein Schluß vom Mittelwert auf die Funktion selbst, nicht allgemein möglich sein wird. Unter einer geeigneten Zusatzbedingung wie der Monotonie von N(λ) läßt sich die Umkehrung aber doch beweisen. Diese Zusatzbedingung heißt dann Tauberbedingung, das Theorem ein Taubertheorem, und das ursprüngliche Theorem, wie es hier in der Aufgabe bewiesen wurde, ein Abel–Theorem.

Es gibt viele Theorempaare dieses Typs; Literatur unter Buchtiteln wie ”Taubertheorie“. Vgl. auch die entsprechenden Kapitel aus [Doe].

Die Aufgabe dient der Vorbereitung aller Teilnehmer auf die Vorträge 1(b) und 2.

(2) (a) Man zeige für eine symmetrische quadratische Matrix A, daß

min{⟨x; Ax⟩ | ⟨x; x⟩ = 1}

angenommen wird und der kleinste Eigenwert von A ist.

(b) Sei Ω ein beschränktes Gebiet im IR^{n}. Man zeige unter der Annahme, daß

min{∫_{Ω} |∇u(x)|^{2} dx | ∫_{Ω} |u(x)|^{2} dx = 1; u ∈ C^{2}(Ω); u|∂Ω = 0}

angenommen wird, daß das Minimum der kleinste Eigenwert des negativen Laplace– Operators − ∑ ∂_{i}^{2} ist.

Bemerkung: In der Variationsrechnung oder der Funktionalanalysis zeigt man zunächst, daß das Minimum in einem größeren Funktionenraum H̊^{1}(Ω) angenommen wird, und nachträglich, daß das zugehörige u dann tatsächlich sogar in C^{∞}(Ω) liegt.

Die Aufgabe dient, soweit sie nicht Wiederholung von bekanntem Stoff ist, zur Vorbereitung auf Vortrag 1(a).

(3) Die Laplace–Transformation s ↦ f(s) einer Funktion t ↦ F (t) wird gegeben durch

f(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−st}F (t) dt

sofern das Integral sinnvoll ist. Man zeige, daß aus f ≡ 0, F stetig, F (t) = O(e^{at}) für geeignetes a folgt: F ≡ 0; m.a.W.: die Laplace–Transformation ist injektiv.

Hinweis: Substitution e^{−t} = x und Weierstraßscher Approximationssatz.

Die Aufgabe ergänzt Vortrag 1(b), ist aber nicht zu seinem Verständnis nötig. Das Resultat wird dort verwendet.

(4) Der Begriff der asymptotischen Reihe anhand eines Beispiels:

(a) Man zeige, daß durch

g(x) := ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−t} dt}{1 + tx}

eine Funktion g ∈ C^{∞} [0, ∞[ definiert ist.

(b) Man versuche skrupellos eine Reihenentwicklung von g um x = 0 durch gliedweise Integration der geometrischen Reihe für \frac{1}{1+tx}. Man kritisiere das Resultat und zerpflücke seine ”Herleitung“.

Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} (konvergent oder divergent) heißt asymptotische Reihe (für x → 0+) zu einer Funktion x ↦ f(x), wenn für alle N gilt:

|f(x) − ∑_{n=0}^{N} a_{n}x^{n}| = O(x^{N+1}) für x → 0+

Man scheibt f(x) ∼ ∑_{0}^{∞} a_{n}x^{n} (x → 0+).

(c) Man mache sich klar, daß für jede C^{∞}–Funktion f in einer Umgebung von 0 die formale Taylor–Reihe ∑_{n} f^{(n)}(0)x^{n}/n! eine asymptotische Reihe zu f(x) ist, und auch, daß die unter (b) erst hergeleitete und dann zerpflückte Reihe eine asymptotische Reihe für g ist. Man zeige auch, daß dies kein Zufall ist, indem man der ”Herleitung“ in (b) einen Sinn im Rahmen asymptotischer Reihen unterlegt.

(d) Man zeige, daß eine Funktion f ∈ C^{∞}[0, ε] höchstens eine asymptotische Reihe für x → 0+ haben kann, daß aber umgekehrt die Zuordnung einer Funktion zu einer gegebenen asymptotischen Reihe nie eindeutig ist. Hinweis: exp(−1/x^{2})

Die Aufgabe dient dem Verständnis eines Grundbegriffs in den Vorträgen 2, 3, 4.

(5) Man berechne für die folgenden offenen beschränkten Mengen im IR^{n} das Spektrum des Laplace–Operators Δ = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}} bzgl. Dirichlet–Randbedingungen.

(a) [0, a] ⊂ IR^{1}

(b) [0, a] × [0, b] ⊂ IR^{2}

(c) [0, a] × ([0, b] ∪ [1, 1 + a − b]) ⊂ IR^{2} (0 < b < a)

(d) {(x, y) ∈ IR^{2} | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ a}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hinweis: [figure: u; −u] Man achte auf mehrfache Eigenwerte!

Die Aufgabe soll uns mit wenig Rechenaufwand etwas Datenmaterial zum späteren Gebrauch ab Vortrag 2 liefern. Die Spiegelungstechnik von Teil (d) wird im Vortrag 9 noch weiter ausgebaut.

(6) Seien λ_{n} die in Aufgabe 5 gefundenen Eigenwerte, entsprechend der Vielfachheit ggf. mehrfach aufgeführt. Man berechne in den Fällen (a)–(d) eine asymptotische Entwicklung von ∑ exp(λ_{n}t) für reelle t → 0+. Dabei darf die später in den Übungen (Aufg. 12) bewiesene Formel

∑_{k=−∞}^{∞} e^{−πk^{2}t} = t^{−1/2} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−πk^{2}/t}

hier ohne Beweis verwendet werden.

Man finde weiter eine Formel

∑ exp(λ_{n}t) ∼ c_{0}Fläche(Ω)t^{−1} + c_{1}Umfang(Ω)t^{−1/2} + O(1)

für t → 0+, die für alle der in (b),(c),(d) aufgeführten Mengen Ω gilt. Hinweis: Jeweils vorherige Ergebnisse wiederverwenden; nicht unnötig rechnen.

Die Aufgabe dient der Vorbereitung auf Vortrag 2 und setzt zugleich das Leitmotiv für die folgenden Vorträge 3, 4.

(7) Ein besonders einleuchtender Weg zur Verallgemeinerung des Laplace–Operators auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten (dort dann Laplace–Beltrami–Operator genannt) mit der Metrik g_{ij}dx^{i}dx^{j} ist das Variationsprinzip aus Aufgabe 2(b): Zu minimieren sei

I[u] := \frac{1}{2} ∫_{M} g^{ij}(x)\frac{∂u}{∂x^{i}} \frac{∂u}{∂x^{j}} dvol(x)

unter der Nebenbedingung ∫_{M} |u(x)|^{2} dx = 1. Dabei ist wie üblich ((g^{ij})) die zu ((g_{ij})) inverse Matrix.

(a) Man zeige, daß

\frac{d}{dε}I[u + εv]|_{ε=0} = − ∫_{M} [\frac{1}{\sqrt{g}} \frac{∂}{∂x^{i}} g^{ij}\sqrt{g} \frac{∂}{∂x^{j}} u] v dvol(x)

ist. In dieser Formel bedeuteg g die Determinante von ((g_{ij})). Es dürfen geeignete Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an die Funktionen gemacht werden, die die Rechnung technisch rechtfertigen.

Die Definition von Δu als Inhalt der eckigen Klammer ist auch schon für den Laplace– Operator in Ebene oder Raum praktisch: z.B. ist bekanntlich das Längenelement in Kugelkoordinaten durch

ds^{2} = dr^{2} + r^{2} dθ^{2} + r^{2} cos^{2} θ dφ^{2}

gegeben; daraus läßt sich der Laplace–Operator in Kugelkoordinaten viel effizienter berechnen als durch direkte Anwendung der Kettenregel.

(b) Man berechne den Laplace–Beltrami–Operator für die obere Halbebene mit der hyperbolischen Metrik ds^{2} = (dx^{2} + dy^{2})/y^{2} und für die hyperbolische Ebene in Polarkoordinaten, d.h. ds^{2} = dr^{2} + sh^{2} r dφ^{2}.

Die Kenntnis des Laplace–Beltrami–Operators auf Riemannschen Flächen im Umfang dieser Aufgabe ist Voraussetzung fürs Verständnis der Vorträge 3 und 4.

(8) Sei A eine reelle oder komplexe n × n–Matrix. Man zeige:

(a) e^{A} := ∑_{n=0}^{∞} \frac{A^{n}}{n!} ist sinnvoll definiert.

(b) Falls x Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist, dann gilt auch e^{At}x = e^{λt}x. Falls A = QBQ^{−1}, dann ist e^{At} = Qe^{Bt}Q^{−1}.

(c) e^{A+B} = e^{A} e^{B}, sofern AB = BA.

(d) Ohne diese Vorraussetzung kann e^{A+B} = e^{A} e^{B} verletzt sein.

(e) det e^{A} = e^{tr A}

(f) Die Lösung der ODE ẋ = Ax, x(0) = x_{0} lautet x(t) = e^{At}x_{0}.

Man berechne explizit e^{At} für die Fälle

A = [ \begin{matrix}λ \\ & μ \end{matrix} ] ,  A = [ \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} ] ,  A = \left[{1 a \atop 1}\right]

Die Aufgabe dient, sofern sie nicht eh Wiederholung ist, der Vorbereitung auf Vortrag 3 und mehrere weitere Vorträge.

(9) Man berechne die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung u_{xx} = u_{t}, x ∈ IR, t ≥ 0, dh. diejenige Lösung u im Sinne temperierter Distributionen, für die gilt: u(·, t) → δ(·) für t → 0+ (im Sinn distributioneller Konvergenz) gilt.

Hinweis: Wer die Distributionentheorie nicht kennt, soll sich nicht abschrecken lassen: die temperierten Distributionen bilden eine Obermenge des Raums der lokalintegrierbaren, durch ein Polynom in x beschränkten Funktionen, und diese ist zugleich ein natürlicher Definitionsbereich der Fourier–Transformation. Die Gleichung soll also einfach einer FT unterworfen, in der neuen Form gelöst und dann zurücktransformiert werden. Daß dabei im Sinne der FT temperierter Distributionen die Gleichung δ(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{ikx} dk gilt, darf verwendet werden.

Man verallgemeinere auf die Gleichung Δu = u_{t}, x ∈ IR^{d}, t ≥ 0.

Die Aufgabe dient zur Vorbereitung der Teilnehmer auf Vortrag 3, das Resultat wird aber schon in Vortrag 2 verwendet. Als wichtige \underline{qualitative} Eigenschaft der Fundamentallösung verdient die Singularität für t → 0+ Beachtung.

(10) Man löse die zu 9 analoge Aufgabe für den Quader: Δu = u_{t} für x ∈ Q := [0, a_{1}] × … × [0, a_{d}], t ≥ 0; u = 0 auf ∂Q; u(x, 0) = δ(x − x_{0}) für vorgegebenes x_{0} ∈ Q̊. (Explizites Aufsummieren der entstehenden Fourierreihe ist nicht verlangt.)

Hinweis: Man überlege sich, warum der Ansatz ∑n⃗ cn⃗fn⃗(x⃗) exp(−λn⃗t) für die allgemeine Lösung der Gleichung Δu = u_{t} in Q, u = 0 auf ∂Q tatsächlich allgemein ist.

Die Aufgabe dient zur Vorbereitung oder Ergänzung von Vortrag 3.

(11) Die Eindeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist nicht trivial: auf einer unbeschränkten Menge ist es nötig, eine Beschränktheitsvoraussetzung an die Lösung zu machen, um Eindeutigkeit zu erzwingen. Diese Aufgabe soll das an einem Beispiel illustrieren (Quelle: [Wid1], p. 27, wo auch ein weiteres Beispiel angegeben wird, und [RoW]).

(a) Man zeige, daß u(x, t) := ∫_{0}^{∞} g(xy, ty^{2})a(y) dy die Gleichung u_{xx} = u_{t} löst, wenn g(x, t) := e^{x} cos(x + 2t) + e^{−x} cos(x − 2t) ist und |a(y)| ≤ C exp(−y^{α}) ist mit α > 1.

(b) Man zeige unter den gleichen Voraussetzungen, daß dann u ∈ C^{∞}(IR × IR → IR) ist und daß t ↦ u(·, t) stetig ist bezüglich der C^{∞}(IR → IR)–Topologie (dh. Konvergenz aller Ableitungen gleichmäßig auf Kompakten).

(c) Man zeige u(x, 0) ≡ 0 unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß ∫_{0}^{∞} y^{4n}a(y) dy = 0 für n = 0, 1, 2, … gilt.

(d) Man zeige, daß a(y) = y exp(−y^{4/3}) cos(\sqrt{3}y^{4/3}) alle gemachten Voraussetzungen erfüllt. Hinweis: ∫ y^{4n}a(y) dy läßt sich auf das Standard–Integral der Gammafunktion transformieren.

Diese Aufgabe hat ergänzenden Charakter und ist für das Verständnis der Vorträge nicht notwendig.

(12) Sei (F, F̂) ein Paar Fouriertransformierter, und zwar wie folgt normiert:

F̂(u) = ∫_{−∞}^{∞} F (x)e^{−2πiux} dx ; F (x) = ∫_{−∞}^{∞} F̂(u)e^{2πiux} du

Man zeige

∑_{n=−∞}^{∞} F (x + n) = ∑_{k=−∞}^{∞} F̂(k)e^{2πikx}

(Das ist die sog. Poissonsche Summenformel.) Selbstverständlich sind gewisse Konvergenzannahmen zu machen, die die Rechnung rechtfertigen.

Für z ∈ C und Im τ > 0 definiert man ϑ(z | τ) := ∑_{−∞}^{∞} e^{iπn^{2}τ} e^{2niz}. Man folgere daraus die Theta-Transformationsformel:

ϑ(z | −1/τ) = \sqrt{\frac{τ}{i}} e^{iτz^{2}/π}ϑ(τz | τ)

und insbesondere auch die in Aufgabe (6) verwendete Formel.

Information: Es handelt sich bei ϑ um eine der Jacobischen Thetafunktionen, nach gängiger Numerierung um ϑ_{3}. Gewisse Quotienten von Thetafunktionen sind elliptische Funktionen, d.h. meromorphe Funktionen mit zwei über IR linear unabhängigen Perioden. Nach Definition erfüllt ϑ(x | it) die Wärmeleitungsgleichung (∂_{x}^{2} − 4π^{−1}∂_{t})ϑ(x | it) = 0.

(13) Man verallgemeinere die vorige Aufgabe auf billige Weise: Sei Λ ⊂ IR^{d} ein Gitter (d.h. von der Form e_{1}ZZ + ⋯ + e_{d}ZZ für eine Basis {e_{i}} von IR^{d}). Sei Λ^{∗} das dazu duale Gitter, dh. Λ^{∗} = {ω^{∗} | ∀ω ∈ Λ : ⟨ω^{∗} | ω⟩ ∈ ZZ}. Man überzeuge sich, daß Λ^{∗} tatsächlich ein Gitter ist und zeige, daß

∑_{ω^{∗}∈Λ^{∗}} exp [−4π^{2}∥ω^{∗} + x∥^{2}t] = \frac{μ(IR^{d}/Λ)}{(4πt)^{d/2}} ∑_{ω∈Λ} exp [−∥ω∥^{2}/4t + 2πi⟨x | ω⟩]

∑_{ω^{∗}∈Λ^{∗}} exp [−4π^{2}∥ω^{∗}∥^{2}t] = \frac{μ(IR^{d}/Λ)}{(4πt)^{d/2}} ∑_{ω∈Λ} exp [−∥ω∥^{2}/4t]

Dabei bedeutet ⟨x | ω⟩ := ∑_{1}^{d} x_{j}ω_{j} das kanonische reelle Skalarprodukt, ∥x∥^{2} = ⟨x | x⟩, und μ bezeichnet das Lebesgue–Maß. Zugleich zeige man, daß μ(IR^{d}/Λ) μ(IR^{d}/Λ^{∗}) = 1. Hinweis: Eine Λ^{∗}–periodische (z.B. C^{1}–)Funktion läßt sich als Fourierreihe ∑_{ω∈Λ} c_{ω}e^{2πi⟨x|ω⟩} entwickeln.

(14) Sei IH := {τ ∈ C | Im τ > 0} die obere Halbebene und Aut(IH) die Gruppe der biholomorphen Abbildungen von IH. Aus der Funktionentheorie ist bekannt, daß

SL_{2}(IR) → Aut(IH) , [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ↦ (τ ↦ \frac{aτ + b}{cτ + d})

ein Gruppenhomomorphismus mit Kern ±I ist (I die Einheitsmatrix). Folglich ist Aut(IH) ≅ P SL_{2}(IR) := SL_{2}(IR)/ ± I.

(a) Man zeige, daß Aut(IH) erzeugt wird von den Translationen τ ↦ τ + a, a ∈ IR den Skalierungen τ ↦ λτ, λ > 0 der Inversion τ ↦ −1/τ Man zeige Im \frac{aτ+b}{cτ+d} = \frac{Im τ}{|cτ+d|^{2}} .

(b) Sei τ = x + iy, x ∈ IR, y > 0. Man zeige, daß die hyperbolische Metrik ds^{2} = (dx^{2} + dy^{2})/y^{2} auf IH unter Aut(IH) invariant ist und daß die Geodäten euklidische Halbkreise oder Halbgeraden sind, die senkrecht auf der reellen Achse stehen. Hinweis: Wegen der Invarianz reicht es, die Geodäten für einfache Spezialfälle zu bestimmen. Für diesmal bleiben die Christoffel–Symbole in der Schublade!

(c) Als Nebenprodukt der Lösung von (b) sollte mit wenig Mühe der Abstand zweier Punkte im Sinn der angegebenen Metrik abfallen:

d(τ_{1}, τ_{2}) = 2 artanh |\frac{τ_{1} − τ_{2}}{τ_{1} − τ̄_{2}} | = arcosh (1 + \frac{|τ_{1} − τ_{2}|^{2}}{2y_{1}y_{2}} )

(d) Man zeige weiter, daß alle orientierungstreuen Isometrien in Aut(IH) sind. Hinweis: Man kann z.B. zeigen, daß eine orientierungstreue Isometrie durch Angabe der Bilder zweier Punkte eindeutig charakterisiert ist.

(e) Wer die nötigen Formeln aus der Differentialgeometrie parat hat, kann nachrechnen, daß die Gaußsche Krümmung von IH konstant −1 ist.

Teil (a) dieser Aufgabe dient der Vorbereitung auf Vorträge 5 und 6. Desgleichen der Vorspann, der, sofern nicht bekannt, auch als Teil der Aufgabe verstanden werden sollte. Die Kenntnis der hyperbolischen Ebene IH \underline{mit} der Metrik, die in Teilen (b), (c) und (d) vermittelt wird, ist für die Vorträge 7 und 8 nötig.

(15) Sei G := P SL_{2}(ZZ) := \{[ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ SL_{2}(ZZ)\} /\{±I\}. Für τ ∈ IH und g = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ G

sei gτ ∈ IH definiert als gτ = \frac{aτ+b}{cτ+d}.

Wir werden im Vortrag 5 oder 6 sehen, daß G von den Elementen S = [ \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} ] und T =

\left[{1 1 \atop 1}\right] erzeugt wird, die im übrigen S^{2} = I und (ST)^{3} = I erfüllen. (Diese Gleichungen

gelten in \underline{P} SL_{2}(ZZ).) Sei G^{∗} die von S und T^{2} erzeugte Untergruppe von G. Sei θ(τ) := ϑ(0 | τ), wobei ϑ die Funktion aus Aufgabe 12 ist. Man zeige, daß θ^{8} eine Modulform vom Gewicht 4 zur Gruppe G^{∗} ist, dh.:

(a) ∀g ∈ G^{∗} ∀τ ∈ IH : θ^{8}(gτ) = (cτ + d)^{4} θ^{8}(τ) Hinweis: Behauptung erst für die Erzeugenden prüfen.

(b) θ^{8} holomorph in IH.

(c) θ^{8} beschränkt auf {τ ∈ IH | Im τ ≥ c_{0}} (c_{0} > 0).

Man zeige auch, daß die dritte Eigenschaft (bei Annahme der ersten beiden) äquivalent dazu ist, daß θ^{8} eine in q = 0 holomorphe Funktion der Variablen q = e^{πiτ} ist. Welchen Wert hat θ^{8} für q = 0?

Die Aufgabe dient der Vorbereitung auf Vortrag 6. Die Gruppe G^{∗} ist ad hoc für Übungszwecke definiert; in der Regel betrachtet man Modulformen zur vollen Gruppe G.

(16) Aus den Grundvorlesungen dürfte der Weierstraßsche Approximationssatz bekannt sein:

Satz: Jede stetige reellwertige Funktion läßt sich auf jedem kompakten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren

(1)

Gelegentlich haben wir die folgende Verallgemeinerung (Satz von Stone–Weierstraß) verwendet:

Satz: Sei X ein kompakter topologischer Raum und A eine abgeschlossene Unteralgebra von C^{0}(X→IR) (mit der Maxiumnorm sowie punktweiser Addition und Multiplikation von Funktionen als Algebraoperationen). Wenn A die konstante Funktion 1 enthält und Punkte trennt, dh. für alle x, y ∈ X mit x ≠ y gibt es f ∈ A so daß f(x) ≠ f(y), dann ist A ganz C^{0}(X→IR).

(2)

Offenbar ist (1) eine direkte Folgerung von (2). Man führe aber auch umgekehrt (2) auf (1) zurück, genauer sogar auf den Spezialfall von (1), daß sich |x| auf jedem kompakten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren läßt. Vorgehensweise dazu:

– Wenn f, g ∈ A, dann auch |f|, min(f, g), max(f, g) ∈ A.

– Für jedes f ∈ C^{0}(X→IR) und jedes Paar (x, y) ∈ X × X gibt es g_{xy} ∈ A mit g_{xy}(x) = f(x) und g_{xy}(y) = f(y).

– Gegeben f ∈ C^{0}(X→IR), x ∈ X, ε > 0, konstruiere h_{x} ∈ A mit h_{x} ≥ f − ε als Maximum gewisser g_{xy_{i}} und k ∈ A mit f − ε ≤ k ≤ f + ε als Minimum gewisser h_{x_{j}}.

Es reicht also zum Beweis sowohl von (1) als auch von (2), |x| auf jedem Intervall [−a, a] glm. durch Polynome zu approximieren. (o.E. a = .5 — warum?)

1. erste Beweismöglichkeit: Approximiere |x| gleichmäßig auf einem kompakten Intervall durch ganze Funktionen, etwa durch Faltung mit einer Gauß–Funktion: c_{ε} ∫ |y| exp[(x − y)^{2}/ε] dy und dann jene ganzen Funktionen durch Taylorpolynome.

2. zweite Beweismöglichkeit: Wende den Banachschen Fixpunktsatz auf die Iteration u_{n+1}(x) = (1 − x^{2} − ε^{2} + u_{n}(x)^{2})/2 in \{u ∈ C^{0}([−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]→IR) | 0 ≤ u ≤ (1 − ε^{2})^{1/2}\} an.

3. dritte Beweismöglichkeit: Wenn man aus der Theorie der Fourierreihen entnimmt, daß stückweise C^{1}–Funktionen durch ihre Fourierreihe glm. approximiert werden (was abweichend zu im Seminar verwendeten Argumenten auch ohne Rückgriff auf den Weierstraßschen Approximationssatz gezeigt werden kann), ergibt sich eine weitere Variante mit Taylorreihen der Fourierpolynome.

4. weitere Ideen bitte dem Plenum in der Übungsstunde mitteilen.

(17) Wir setzen als bekannt voraus (und wer es nicht kennt, kann sich leicht überzeugen), daß

durch

Γ(z) := ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{z−1} dt

eine für Re z > 0 holomorphe Funktion definiert wird, die (wie man durch partielle Integration zeigt) der Funktionalgleichung zΓ(z) = Γ(z + 1) genügt. Da Γ(1) = 1 ist, folgt Γ(n + 1) = n!.

Wir definieren ferner die Beta–Funktion (für welche Argumente?) durch die folgenden Formeln, die vermöge der Substitutionen t = sin^{2} θ = u^{2}/(1 + u^{2}) äquivalent sind:

B(p, q) := ∫_{0}^{1} t^{p−1}(1 − t)^{q−1} dt = 2 ∫_{0}^{π/2} sin^{2p−1} θ cos^{2q−1} θ dθ = 2 ∫_{0}^{∞} \frac{u^{2p−1}}{(1 + u^{2})^{p+q}} du

(a) Man setze Γ mit Hilfe der Funktionalgleichung zu einer in ganz C meromorphen Funktion fort und berechne alle Pole und Residuen der fortgesetzten Funktion.

(b) Man substituiere in

Γ(p)Γ(q) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{p−1} dt ∫_{0}^{∞} e^{−s}s^{q−1} ds

t = x^{2}, s = y^{2} und beweise durch Transformation in Polarkoordinaten, daß

B(p, q) = \frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p + q)}

gilt.

(c)

Man werte das dritte definierende Integral für B(z, 1 − z) mit dem Residuensatz aus, um zu beweisen, daß

Γ(z)Γ(1 − z) = \frac{π}{sin πz}

ist. Weg wie in Skizze: i

(d) Information: Andere Beweismethoden für (c) sind Polvergleich und Satz von Liouville für die Differenz beider Seiten oder der Umweg über die Produktdarstellung der Gamma–Funktion. Letztere beweisen wir hier nicht. Aus ihr folgt ferner die Verdoppelungsformel, die wir auch nicht beweisen, sondern wir zitieren beide nur der Vollständigkeit halber:

Γ(z) = e^{−γz} \frac{1}{z} ∏_{n=1}^{∞} [e^{z/n} \frac{n}{n + z} ] , γ = lim_{N→∞} [∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} − log N]

Γ(z)Γ(z + \frac{1}{2}) = Γ(2z)\frac{\sqrt{π}}{2^{2z−1}}

(18) Die Riemannsche Zetafunktion ist für Re s > 1 wie folgt definiert:

ζ(s) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = ∏_{p Primzahl} [1 − p^{−s}]^{−1}

(a) Man zeige, daß beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Man folgere insbesondere, daß ζ für Re s > 1 keine Nullstellen hat. Aus dem Verhalten für s → 1+ folgere man, daß ∑_{p} 1/p divergiert, daß es also insbesondere unendlich viele Primzahlen gibt.

(b) Zugabe, die keinen Seminarstoff mehr berührt: Sei χ_{±}(n) sei = 1 für n ≡ 1 mod 3, = ±1 für n ≡ −1 mod 3, = 0 für n ≡ 0 mod 3. Sei L_{χ_{±}}(s) := ∑_{n=1}^{∞} χ_{±}(n)/n^{s}. Man löse Teil (a) analog und zeige, daß ∑_{p≡1 (3)} 1/p und ∑_{p≡−1 (3)} 1/p divergieren. Hinweis: zu (a) anaoge Produktdarstellung für L_{χ_{±}} logarithmieren; ferner ist L_{χ_{+}} um 1 analytisch und nicht 0

(c) Man beweise durch Reihenentwicklung (welche Reihe?) des Integranden, daß für Re s > 1

∫_{0}^{∞} \frac{x^{s−1}}{e^{x} − 1} dx = Γ(s)ζ(s)

gilt, und weiter

−\frac{Γ(1 − s)}{2πi} ∫_{C} \frac{(−z)^{s−1}}{e^{z} − 1} dz = ζ(s)

für den in der Skizze angegebenen Weg: 0 arg(−z) = −π arg(−z) = π

Hinweis: Reihenentwicklung: geometrische Reihe in e hoch minus x Diese Gleichung liefert die meromorphe Fortsetzung von ζ in die ganze Ebene. Man bestimme alle Pole und Residuen von ζ.

(d)

Durch Aufbiegen des Integrationswegs und Einsammeln der Residuen folgere man die Funktionalgleichung der Zetafunktion:

ζ(s) = ζ(1 − s)Γ(1 − s)2^{s}π^{s−1} sin(πs/2)

Man finde all diejenigen Nullstellen von ζ, die nicht im Streifen 0 ≤ Re s ≤ 1 liegen (sog. triviale Nullstellen).

(e) Man zeige, daß alle nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden Re z = \frac{1}{2} liegen. Hinweis: Dieser Aufgabenteil ist nicht ernst gemeint. Wer ihn trotzdem korrekt löst, bekommt die Fieldsmedaille und einen Ruf nach Princeton. Es handelt sich hierbei um die bis heute offene Riemannsche Vermutung, und in der Lage dieser Nullstellen verbirgt sich Information über die Primzahlverteilung.

(19) Wir werden den Primzahlsatz selbst im Seminar nicht brauchen. Zweck dieser Aufgabe ist, die Vorgehensweise bei seinem Beweis soweit transparent zu machen, daß die Analogien zu Methoden und Ergebnissen aus Vortrag 8 erkennbar werden. Es stellt sich heraus, daß geschlossene Geodäten auf Flächen höheren Geschlechts eine ähnliche Rolle spielen wie natürliche Zahlen in der Zahlentheorie und prime Geodäten (das sind solche, die nicht durch mehrfaches Durchlaufen aus einer kürzeren geschlossenen Geodäten entstehen) eine ähnliche Rolle wie Primzahlen. Die für solche Flächen definierte Selbergsche Zetafunktion entspricht der Riemannschen Zeta–Funktion.

(a) Man zeige durch logarithmisches Ableiten der Produktformel

−\frac{ζ′}{ζ} (s) = ∑_{p} \frac{p^{−s} log p}{1 − p^{−s}} = ∑_{n} \frac{Λ(n)}{n^{s}} = ∫_{0}^{∞} e^{−sλ} dψ(e^{λ}) = s ∫_{0}^{∞} e^{−sλ}ψ(e^{λ}) dλ

wobei

Λ(n) = \{ \begin{matrix}log p & für n = p^{r} \\ 0 & sonst \end{matrix} , ψ(x) = ∑_{n≤x} Λ(n)

ist.

Mit Hilfe eines Tauber–Theorems (Wiener–Ikehara) und der Tatsache, daß sich −ζ′(s)/ζ(s)− 1/(s − 1) sich zu einer auf Re s ≥ 1 \underline{stetigen} Funktion fortsetzen läßt (weil ζ, was wir hier nicht bewiesen haben, auf Re s = 1 keine Nullstellen hat), folgert man, daß ψ(x) ∼ x für x → ∞. Nachzulesen etwa in [Chd] S. 124, das Taubertheorem auch in [Wid2] S. 233.

(b) Man drücke ψ(x) durch ϑ(x), ϑ(x^{1/2}), … aus (ϑ(x) := ∑_{p} log p) aus und folgere ϑ(x) ∼ x für x → ∞. Sei π(x) die Anzahl der Primzahlen ≤ x. Weiter zeige man für jedes α ∈ ]0, 1[, daß

[π(x) − π(x^{α})] log(x^{α}) ≤ ϑ(x) ≤ π(x) log x

und folgere daraus (\overline{lim} und \underline{lim} separat behandeln), daß

lim_{x→∞} \frac{π(x) log x}{x} = 1

ist.

(20) Einer Gruppe G zusammen mit einer Teilmenge A, die G erzeugt, wird wie folgt ein Graph Cay(G, A) zugeordnet, der sog. Cayley-Graph: Die Ecken von Cay(G, A) sind die Elemente g ∈ G. Eine (mit a ∈ A zu beschriftende) Kante von g_{1} nach g_{2} existiert genau dann, wenn g_{1}a = g_{2} ist. Beispiel: G = (ZZ, +) mit A = {1}. Dann ist der Cayley–Graph wie folgt:

[figure: •; •; •; •; •; •; •; •; •; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; ⋯; ⋯]

Man zeichne die Cayley–Graphen in folgenden Fällen:

(a) G = (ZZ/15ZZ, +), A = {1}

(b) G = (ZZ/15ZZ, +), A = {3, 5}. Hinweis: ZZ/15ZZ ≅ (ZZ/3ZZ) × (ZZ/5ZZ)

(c) G = (S_{3}, ∘), A = {(12), (123)} (symmetrische Gruppe auf 3 Elementen mit der Hintereinanderausführung von Permutationen als Gruppenoperation).

(d) G = ZZ × ZZ, A = \{\binom{1}{0}, \binom{0}{1}\}

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